Een raaklijn is een rechte lijn die een curve in slechts één punt raakt zonder deze te snijden. Het punt waar de raaklijn en de curve elkaar raken, wordt het raakpunt genoemd. De helling van de raaklijn in het raakpunt geeft de momentane verandering van de curve op dat punt weer. Begrip van raaklijnen en hellingen is essentieel om de helling van een raaklijn te bepalen. De helling wordt gedefinieerd als de verhouding tussen het verschil in y-coördinaten en het verschil in x-coördinaten. Dit wordt weergegeven door de volgende formule:
m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
Houd rekening met het volgende:
- Tan θ is gelijk aan m. De helling kan positief of negatief zijn, afhankelijk van of de lijn stijgt of daalt.
- Het product van de hellingen van twee loodrechte lijnen is -1 en de hellingen van parallelle lijnen zijn gelijk.
- De afgeleide van een functie geeft de veranderingssnelheid weer ten opzichte van de verandering van de onafhankelijke variabele.
De helling van de raaklijn is hetzelfde als de afgeleide van de curve op een bepaald punt. De formule voor de raaklijn met helling m en een gegeven punt (x₁, y₁) wordt gegeven door:
y – y₁ = m × (x – x₁) of y = mx + c
Waarbij c een constante is.
Om de helling van de raaklijn te vinden, moeten we de afgeleide van de curve f(x) vinden en de waarde van de afgeleide bepalen op het punt waar de raaklijn en de curve elkaar raken. Dit geeft ons de helling.
Voorbeeld: Vind de helling van de raaklijn aan de curve f(x) = x² in het punt (1, 1). Bepaal ook de vergelijking van de raaklijn.
Om de helling van de raaklijn te vinden, moeten we f'(x) vinden:
f(x) = x² f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x
Bij x = 1 is de helling:
f'(1) = 2(1) = 2
Dus, de helling van de raaklijn is 2.
Nu, om de vergelijking van de raaklijn te vinden: We gebruiken de punt-hellingvorm: y – y₁ = m(x – x₁)
We hebben het punt (1, 1) en de helling = 2
y – 1 = 2(x – 1)
Omzetten naar de helling-interceptvorm:
y – 1 = 2x – 2 y = 2x – 1
- De helling van de raaklijn is 2.
- De vergelijking van de raaklijn is y = 2x – 1.
Ander voorbeeld: Vind de helling van de raaklijn 6y = 3x + 5.
Omdat we weten dat de vergelijking van een raaklijn de vorm y = mx + c heeft, waarbij m de helling is.
Kunnen we schrijven:
y = (3x + 5) / 6
Dus, de waarde van de helling is 0.5.
