Điểm cực trị của hàm số là khái niệm quan trọng trong giải tích toán học, dùng để chỉ những điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số mà tại đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một lân cận nhỏ của điểm đó. Hiểu một cách đơn giản, điểm cực trị đánh dấu sự “đổi chiều” của hàm số, từ tăng sang giảm hoặc ngược lại.
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu không phải là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tuyệt đối của hàm số trên toàn bộ tập xác định. Chúng chỉ là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cục bộ, tức là trong một khoảng nhỏ xung quanh điểm cực trị đó.
Định Nghĩa Điểm Cực Đại và Điểm Cực Tiểu
Để hiểu rõ hơn về điểm cực trị, chúng ta cần phân biệt giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu:
Điểm cực đại:
Giả sử hàm số f xác định trên tập K (K ⊂ ℝ) và x₀ ∈ K. Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) ⊂ K chứa x₀ sao cho:
f(x) ≤ f(x₀), ∀ x ∈ (a; b)
Khi đó, giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
Điểm cực tiểu:
Tương tự, điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) ⊂ K chứa x₀ sao cho:
f(x) ≥ f(x₀), ∀ x ∈ (a; b) {x₀}
Khi đó, giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Lưu ý quan trọng về điểm cực trị:
-
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số. Một hàm số có thể có nhiều điểm cực đại hoặc cực tiểu.
-
Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x₀) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K. f(x₀) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong một khoảng (a; b) chứa x₀.
-
Nếu x₀ là một điểm cực trị của hàm số f, thì điểm (x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
Các Định Lý Quan Trọng Về Cực Trị Hàm Số
Để xác định điểm cực trị, chúng ta dựa vào các định lý sau:
Định lý 1 (Điều kiện cần để có cực trị):
Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀ và có đạo hàm tại x₀, thì f'(x₀) = 0.
Lưu ý:
- Điều ngược lại không đúng. f'(x₀) = 0 không đảm bảo x₀ là điểm cực trị. Điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 được gọi là điểm dừng, nhưng không phải điểm dừng nào cũng là điểm cực trị.
- Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó không có đạo hàm. Ví dụ, hàm số y = |x| đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm này.
Định lý 2 (Điều kiện đủ thứ nhất – Quy tắc đạo hàm cấp một):
- Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x₀ (theo chiều tăng), thì hàm số đạt cực tiểu tại x₀.
- Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x₀ (theo chiều tăng), thì hàm số đạt cực đại tại x₀.
Định lý 3 (Điều kiện đủ thứ hai – Quy tắc đạo hàm cấp hai):
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa x₀, f'(x₀) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x₀.
- Nếu f”(x₀) < 0, thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x₀.
- Nếu f”(x₀) > 0, thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x₀.
- Nếu f”(x₀) = 0, thì chưa thể kết luận, cần sử dụng bảng biến thiên hoặc xét dấu đạo hàm cấp một để xác định cực trị.
Số Lượng Điểm Cực Trị Của Hàm Số
Số lượng điểm cực trị của hàm số phụ thuộc vào dạng của hàm số:
- Hàm bậc nhất: Không có điểm cực trị.
- Hàm bậc hai: Có một điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
- Hàm bậc ba: Có thể có 0 hoặc 2 điểm cực trị.
- Hàm bậc bốn (trùng phương): Có thể có 1 hoặc 3 điểm cực trị.
Lưu ý về số điểm cực trị:
- Điểm cực đại hoặc cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại hoặc cực tiểu được gọi chung là cực trị.
- Giá trị cực đại (cực tiểu) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) tuyệt đối, mà chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong một lân cận.
- Điểm cực trị của hàm số là hoành độ x₀ của điểm cực trị trên đồ thị (x₀; f(x₀)).
Cách Tìm Điểm Cực Trị Của Hàm Số
Mỗi dạng hàm số có cách tìm điểm cực trị khác nhau. Dưới đây là các phương pháp phổ biến cho các dạng hàm số thường gặp:
Tìm Cực Trị Của Hàm Số Bậc 2
Hàm số bậc 2 có dạng: y = ax² + bx + c (a ≠ 0), tập xác định D = ℝ.
Đạo hàm: y’ = 2ax + b.
- y’ = 0 ⇔ x = -b/2a.
- Vì đạo hàm bậc nhất là hàm bậc nhất nên y’ đổi dấu khi đi qua x₀ = -b/2a.
- Vậy hàm số bậc 2 luôn có một điểm cực trị tại x₀ = -b/2a.
- Nếu a > 0: Hàm số có cực tiểu tại x₀ = -b/2a.
- Nếu a < 0: Hàm số có cực đại tại x₀ = -b/2a.
Xác Định Điểm Cực Trị Của Hàm Số Bậc 3
Hàm số bậc 3 có dạng: y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0), tập xác định D = ℝ.
Đạo hàm: y’ = 3ax² + 2bx + c. Xét biệt thức Δ’ = b² – 3ac.
- Δ’ ≤ 0: y’ không đổi dấu, hàm số không có cực trị.
- Δ’ > 0: y’ có hai nghiệm phân biệt, đổi dấu 2 lần, hàm số có hai cực trị (một cực đại và một cực tiểu).
Cách tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba:
Phân tích y = f(x) = (Ax + B)f'(x) + Cx + D bằng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f'(x). Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình y = Cx + D.
Cách Tính Cực Trị Của Hàm Số Bậc 4 (Hàm Trùng Phương)
Hàm số trùng phương có dạng: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0), tập xác định D = ℝ.
Đạo hàm: y’ = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b). y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc 2ax² + b = 0 ⇔ x² = -b/2a.
- -b/2a ≤ 0 (⇔ ab ≥ 0): y’ chỉ đổi dấu 1 lần khi x qua x₀ = 0. Hàm số có một cực trị tại x₀ = 0.
- Nếu a > 0: Cực tiểu tại x = 0.
- Nếu a < 0: Cực đại tại x = 0.
- -b/2a > 0 (⇔ ab < 0): y’ đổi dấu 3 lần. Hàm số có ba cực trị.
- Nếu a > 0: Hai cực tiểu và một cực đại.
- Nếu a < 0: Hai cực đại và một cực tiểu.
Cách Xác Định Cực Trị Của Hàm Số Lượng Giác
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x), giải phương trình y’ = 0 để tìm nghiệm x = x₀.
- Bước 3: Tính đạo hàm cấp hai y” = f”(x).
- Bước 4: Tính y”(x₀) và kết luận dựa vào định lý 3:
- Nếu y”(x₀) < 0: Cực đại tại x₀.
- Nếu y”(x₀) > 0: Cực tiểu tại x₀.
- Nếu y”(x₀) = 0: Cần xét dấu y’ xung quanh x₀ (theo định lý 2).
Xác Định Điểm Cực Trị Của Hàm Số Logarit
Phương pháp: Tương tự hàm số lượng giác:
- Bước 1: Tìm tập xác định.
- Bước 2: Tính y’ = f'(x), giải y’ = 0 tìm nghiệm x = x₀.
- Bước 3: Xét hai khả năng:
- Cách 1 (Đạo hàm cấp hai): Tính y” = f”(x), tính y”(x₀) và kết luận theo định lý 3.
- Cách 2 (Bảng biến thiên): Xét dấu y’ xung quanh x₀ và lập bảng biến thiên, kết luận theo định lý 2. Cách này hữu ích khi không tính được y” hoặc y”(x₀) = 0.
Các Dạng Bài Tập Tìm Điểm Cực Trị Hàm Số Thường Gặp
Các bài toán về cực trị hàm số thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc Gia. Dưới đây là 3 dạng bài tập phổ biến:
Dạng 1: Tìm Điểm Cực Trị Của Hàm Số
Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên, xét dấu f'(x) và chiều biến thiên của f(x).
- Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, xác định các điểm cực trị.
Cách 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai
- Bước 1: Tìm tập xác định.
- Bước 2: Tính f'(x), giải f'(x) = 0 tìm nghiệm xᵢ.
- Bước 3: Tính f”(x) và f”(xᵢ).
- Bước 4: Dựa vào dấu của f”(xᵢ) suy ra tính chất cực trị của điểm xᵢ:
- Nếu f”(xᵢ) < 0: xᵢ là điểm cực đại.
- Nếu f”(xᵢ) > 0: xᵢ là điểm cực tiểu.
Ví dụ:
Tìm cực trị của hàm số y = 2x³ – 6x + 2.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = ℝ.
Tính y’ = 6x² – 6. Cho y’ = 0 ⇔ 6x² – 6 = 0 ⇔ x = ±1.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y = -2.
Dạng 2: Tìm Tham Số m Để Hàm Số Đạt Cực Trị Tại Một Điểm
Phương pháp giải:
- Bước 1: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x₀ là y'(x₀) = 0. Giải phương trình y'(x₀) = 0 để tìm giá trị của tham số m.
- Bước 2: Kiểm tra lại bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm cấp một hoặc cấp hai để xác định xem với giá trị m vừa tìm được, hàm số có thực sự đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại x₀ hay không.
Ví dụ:
Cho hàm số y = x³ – 3mx² +(m² – 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = ℝ. Tính y’ = 3x² – 6mx + m² – 1; y” = 6x – 6m.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 →
⇔ m = 1.
Dạng 3: Biện Luận Theo m Số Cực Trị Của Hàm Số
Đối với cực trị của hàm số bậc ba
Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0. y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1), Δ’y’ = b² – 3ac.
- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép: Hàm số không có cực trị. ⇔ b² – 3ac ≤ 0.
- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: Hàm số có hai cực trị. ⇔ b² – 3ac > 0.
Đối với cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương
Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0). y’ = 4ax³ + 2bx; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x² = -b/2a.
- (C) có một điểm cực trị: y’ = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.
- (C) có ba điểm cực trị: y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.
Ví dụ:
Tìm m để hàm số y = x³ + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu.
Hướng dẫn giải:
Ta có: y’ = 3x² + m → Hàm số y = x³ + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m < 0.
Một Số Bài Tập Tìm Cực Trị Của Hàm Số Tự Luyện
Đáp án của các bài tập trên lần lượt là: 1A; 2D; 3A; 4A; 5A; 6A; 7D; 8D; 9D; 10B; 11C.
Trên đây là toàn bộ kiến thức về cực trị của hàm số. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn ôn tập hiệu quả cho các kỳ thi sắp tới. Chúc bạn học tốt!
