接線とは、曲線と一点のみで交わり、その点を通り抜けない直線のことです。接線と曲線が交わる点を接点と呼びます。接点における接線の傾きは、その点での曲線の瞬間的な変化率を表します。接線と傾きの理解は、接線の傾きを求める上で不可欠です。傾きは、y座標の差とx座標の差の比として定義されます。次の式で表されます。
m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
以下の点に注意してください。
- tan θ は m と同じです。傾きは、直線が上昇するか下降するかに応じて、正または負になります。
- 垂直な2つの直線の傾きの積は -1 で、平行な直線の傾きは等しくなります。
- 関数の導関数は、独立変数の変化に対する変化率を示します。
接線の傾きは、特定の点における曲線の導関数と同じです。傾きが m で、与えられた点が (x₁, y₁) である接線の方程式は、次のようになります。
y – y₁ = m × (x – x₁) または y = mx + c
ここで、c は定数です。
接線の傾きを求めるには、曲線 f(x) の導関数を求め、接線と曲線が交わる点における導関数の値を求める必要があります。これが傾きを示します。
例：曲線 f(x) = x² の点 (1, 1) における接線の傾きを求め、接線の方程式を求めてください。
接線の傾きを求めるには、f'(x) を求める必要があります。
f(x) = x² f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x
x = 1 のとき、傾きは次のようになります。
f'(1) = 2(1) = 2
したがって、接線の傾きは 2 です。
次に、接線の方程式を求めます。点と傾きの形式、y – y₁ = m(x – x₁) を使用します。
点 (1, 1) と傾き = 2 があります。
y – 1 = 2(x – 1)
傾きと切片の形式に変換します。
y – 1 = 2x – 2 y = 2x – 1
- 接線の傾きは 2 です。
- 接線の方程式は y = 2x – 1 です。
別の例：接線 6y = 3x + 5 の傾きを求めてください。
接線の方程式は y = mx + c の形式であり、m は傾きであることがわかっています。
次のように書くことができます。
y = (3x + 5) / 6
したがって、傾きの値は 0.5 です。
