Una tangente è una retta che tocca una curva in un solo punto senza intersecarla. Il punto in cui la tangente e la curva si incontrano è chiamato punto di tangenza. La pendenza della tangente nel punto di tangenza rappresenta la velocità di variazione istantanea della curva in quel punto. Comprendere la tangente e la pendenza è essenziale per trovare la pendenza della tangente. La pendenza è definita come il rapporto tra la differenza delle coordinate y e la differenza delle coordinate x. È rappresentata dalla seguente formula:
m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
Da notare che:
- Tan θ è uguale a m. La pendenza può essere positiva o negativa a seconda che la linea si sposti verso l’alto o verso il basso.
- Il prodotto delle pendenze di due rette perpendicolari è -1 e la pendenza di rette parallele è uguale.
- La derivata di una funzione indica il tasso di cambiamento rispetto alla variazione della variabile indipendente.
La pendenza della tangente è la stessa della derivata della curva in un dato punto. La formula per la tangente con pendenza m e punto dato (x₁, y₁) è data da:
y – y₁ = m × (x – x₁) oppure y = mx + c
Dove c è una costante.
Per trovare la pendenza della tangente, dobbiamo trovare la derivata della curva f(x) e trovare il valore della derivata nel punto in cui la tangente e la curva si incontrano. Questo ci dà la pendenza.
Esempio: trovare la pendenza della tangente alla curva f(x) = x² nel punto (1, 1). Inoltre, trovare l’equazione della tangente.
Per trovare la pendenza della tangente, dobbiamo trovare f'(x):
f(x) = x² f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x
In x = 1, la pendenza sarà:
f'(1) = 2(1) = 2
Quindi, la pendenza della tangente è 2.
Ora, per trovare l’equazione della tangente: useremo la forma punto-pendenza: y – y₁ = m(x – x₁)
Abbiamo il punto (1, 1) e la pendenza = 2
y – 1 = 2(x – 1)
Convertire nella forma pendenza-intercetta:
y – 1 = 2x – 2 y = 2x – 1
- La pendenza della tangente è 2.
- L’equazione della tangente è y = 2x – 1.
Altro esempio: trovare la pendenza della tangente 6y = 3x + 5.
Poiché conosciamo l’equazione di una tangente nella forma y = mx + c dove m è la pendenza.
Possiamo scrivere:
y = (3x + 5) / 6
Pertanto, il valore della pendenza è 0.5.
