Une tangente est une droite qui touche une courbe en un seul point sans la traverser. Le point où la tangente et la courbe se rencontrent est appelé le point de tangence. La pente de la tangente au point de tangence représente le taux de variation instantané de la courbe à ce point. Comprendre la tangente et la pente est essentiel pour déterminer la pente de la tangente. La pente est définie comme le rapport de la différence des coordonnées y à la différence des coordonnées x. Elle est représentée par la formule suivante :
m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
Il est important de noter que :
- Tan θ est identique à m. La pente peut être positive ou négative selon que la droite monte ou descend.
- Le produit des pentes de deux droites perpendiculaires est -1 et la pente des droites parallèles est égale.
- La dérivée d’une fonction indique le taux de changement par rapport au changement de la variable indépendante.
La pente de la tangente est la même que la dérivée de la courbe en un point donné. La formule de la tangente ayant une pente m et un point donné (x₁, y₁) est donnée par :
y – y₁ = m × (x – x₁) ou y = mx + c
Où c est une constante.
Pour trouver la pente de la tangente, nous devons trouver la dérivée de la courbe f(x) et trouver la valeur de la dérivée au point où la tangente et la courbe se rencontrent. Cela nous donne la pente.
Exemple : Trouvez la pente de la tangente à la courbe f(x) = x² au point (1, 1). Trouvez également l’équation de la tangente.
Pour trouver la pente de la tangente, nous devons trouver f'(x) :
f(x) = x² f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x
À x = 1, la pente sera :
f'(1) = 2(1) = 2
Donc, la pente de la tangente est 2.
Maintenant, pour trouver l’équation de la tangente : Nous allons utiliser la forme point-pente : y – y₁ = m(x – x₁)
Nous avons le point (1, 1) et la pente = 2
y – 1 = 2(x – 1)
Conversion en forme pente-ordonnée à l’origine :
y – 1 = 2x – 2 y = 2x – 1
- La pente de la tangente est 2.
- L’équation de la tangente est y = 2x – 1.
Autre exemple : Trouvez la pente de la tangente 6y = 3x + 5.
Comme nous connaissons l’équation d’une tangente sous la forme y = mx + c où m est la pente.
On peut écrire :
y = (3x + 5) / 6
Par conséquent, la valeur de la pente est 0,5.
