Una tangente es una línea recta que toca una curva en un solo punto sin cruzarla. El punto donde la tangente y la curva se encuentran se llama punto de tangencia. La pendiente de la tangente en el punto de tangencia representa la tasa de cambio instantánea de la curva en ese punto. Comprender las tangentes y las pendientes es esencial para hallar la pendiente de una tangente. La pendiente se define como la razón del cambio en la coordenada y al cambio en la coordenada x. Se representa mediante la siguiente fórmula:
m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
Puntos a tener en cuenta:
- Tan θ es lo mismo que m. La pendiente puede ser positiva o negativa dependiendo de si la línea se mueve hacia arriba o hacia abajo.
- El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es -1 y la pendiente de las rectas paralelas es igual.
- La derivada de una función da la tasa de cambio con respecto al cambio en la variable independiente.
La pendiente de la tangente es la misma que la derivada de la curva en un punto dado. La fórmula para la tangente con pendiente m y el punto dado (x₁, y₁) viene dada por:
y – y₁ = m × (x – x₁) o y = mx + c
Donde c es una constante.
Para hallar la pendiente de la tangente, necesitamos encontrar la derivada de la curva f(x) y encontrar el valor de la derivada en el punto donde la tangente y la curva se encuentran. Esto nos da la pendiente.
Ejemplo: Encuentra la pendiente de la tangente a la curva f(x) = x² en el punto (1, 1). También, encuentra la ecuación de la tangente.
Para encontrar la pendiente de la tangente, necesitamos encontrar f'(x):
f(x) = x² f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x
En x = 1, la pendiente será:
f'(1) = 2(1) = 2
Por lo tanto, la pendiente de la tangente es 2.
Ahora, para encontrar la ecuación de la tangente: Usaremos la forma punto-pendiente: y – y₁ = m(x – x₁)
Tenemos el punto (1, 1) y la pendiente = 2
y – 1 = 2(x – 1)
Convirtiendo a la forma pendiente-intersección:
y – 1 = 2x – 2 y = 2x – 1
- La pendiente de la tangente es 2.
- La ecuación de la tangente es y = 2x – 1.
Otro ejemplo: Encuentra la pendiente de la recta tangente 6y = 3x + 5.
Como sabemos que la ecuación de una recta tangente es de la forma y = mx + c donde m es la pendiente.
Podemos escribir:
y = (3x + 5) / 6
Por lo tanto, el valor de la pendiente es 0.5.
