Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in genau einem Punkt berührt, ohne sie zu schneiden. Der Punkt, an dem sich Tangente und Kurve treffen, wird als Berührpunkt bezeichnet. Die Steigung der Tangente im Berührpunkt gibt die momentane Änderungsrate der Kurve an diesem Punkt an. Das Verständnis von Tangenten und Steigungen ist entscheidend, um die Steigung einer Tangente zu bestimmen. Die Steigung ist definiert als das Verhältnis der Differenz der y-Koordinaten zur Differenz der x-Koordinaten. Sie wird durch die folgende Formel dargestellt:
m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
Zu beachten ist:
- Tan θ ist gleich m. Die Steigung kann positiv oder negativ sein, je nachdem, ob die Gerade steigt oder fällt.
- Das Produkt der Steigungen zweier senkrechter Geraden ist -1, und die Steigungen paralleler Geraden sind gleich.
- Die Ableitung einer Funktion gibt die Änderungsrate in Bezug auf die Änderung der unabhängigen Variable an.
Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Kurve an einem bestimmten Punkt. Die Formel für die Tangente mit der Steigung m und dem gegebenen Punkt (x₁, y₁) lautet:
y – y₁ = m × (x – x₁) oder y = mx + c
Dabei ist c eine Konstante.
Um die Steigung der Tangente zu finden, müssen wir die Ableitung der Kurve f(x) bestimmen und den Wert der Ableitung an dem Punkt finden, an dem sich Tangente und Kurve treffen. Dies gibt uns die Steigung.
Beispiel: Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an der Kurve f(x) = x² im Punkt (1, 1). Finden Sie außerdem die Gleichung der Tangente.
Um die Steigung der Tangente zu finden, müssen wir f'(x) bestimmen:
f(x) = x² f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x
Bei x = 1 ist die Steigung:
f'(1) = 2(1) = 2
Die Steigung der Tangente beträgt also 2.
Um nun die Gleichung der Tangente zu finden: Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form: y – y₁ = m(x – x₁)
Wir haben den Punkt (1, 1) und die Steigung = 2
y – 1 = 2(x – 1)
Umwandeln in die Steigungs-Achsenabschnittsform:
y – 1 = 2x – 2 y = 2x – 1
- Die Steigung der Tangente ist 2.
- Die Gleichung der Tangente ist y = 2x – 1.
Weiteres Beispiel: Bestimmen Sie die Steigung der Tangente 6y = 3x + 5.
Da wir wissen, dass die Gleichung einer Tangente die Form y = mx + c hat, wobei m die Steigung ist.
Können wir schreiben:
y = (3x + 5) / 6
Daher ist der Wert der Steigung 0,5.
