ما هو المماس؟

المماس هو خط مستقيم يلامس منحنى عند نقطة واحدة فقط دون أن يقطعه. تسمى النقطة التي يلتقي فيها المماس والمنحنى بنقطة التماس. يُمثل ميل المماس عند نقطة التماس معدل التغير اللحظي للمنحنى عند تلك النقطة. من الضروري فهم المماس وميله لإيجاد ميل المماس. يُعرّف الميل بأنه نسبة الفرق بين إحداثيي y إلى الفرق بين إحداثيي x. ويمثله القانون التالي:

m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

يجب ملاحظة ما يلي:

• إن Tan θ تساوي m. يمكن أن يكون الميل موجبًا أو سالبًا اعتمادًا على ما إذا كان الخط يتحرك لأعلى أو لأسفل.
• حاصل ضرب ميل خطين متعامدين هو -1، وميل الخطوط المتوازية متساوٍ.
• تُشير مشتقة الدالة إلى معدل التغير بالنسبة لتغير المتغير المستقل.

ميل المماس هو نفسه مشتقة المنحنى عند نقطة معينة. معادلة المماس الذي ميله m والنقطة المعطاة هي (x₁، y₁) تُعطى بواسطة:

y – y₁ = m × (x – x₁) أو y = mx + c

حيث c ثابت.

لإيجاد ميل المماس، نحتاج إلى إيجاد مشتقة المنحنى f(x) وإيجاد قيمة المشتقة عند النقطة التي يلتقي فيها المماس والمنحنى. هذا يعطينا الميل.

مثال: أوجد ميل المماس للمنحنى f(x) = x² عند النقطة (1، 1). وأوجد أيضًا معادلة المماس.

لإيجاد ميل المماس، نحتاج إلى إيجاد f'(x):

f(x) = x² f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x

عند x = 1، سيكون الميل:

f'(1) = 2(1) = 2

إذن، ميل المماس هو 2.

الآن، لإيجاد معادلة المماس: سنستخدم صيغة نقطة-ميل: y – y₁ = m(x – x₁)

لدينا النقطة (1، 1) والميل = 2

y – 1 = 2(x – 1)

بتحويلها إلى صيغة ميل-نقطة تقاطع:

y – 1 = 2x – 2 y = 2x – 1

• ميل المماس هو 2.
• معادلة المماس هي y = 2x – 1.

مثال آخر: أوجد ميل المماس 6y = 3x + 5.

بما أننا نعرف أن معادلة المماس هي y = mx + c حيث m هي الميل.

يمكننا كتابتها كـ:

y = (3x + 5) / 6

لذلك، قيمة الميل هي 0.5.