Đường tiếp tuyến là đường thẳng chỉ chạm vào một điểm duy nhất trên đường cong mà không cắt qua nó. Điểm mà đường tiếp tuyến và đường cong gặp nhau được gọi là điểm tiếp xúc. Độ dốc của đường tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc thể hiện tốc độ thay đổi tức thời của đường cong tại điểm đó. Hiểu rõ về đường tiếp tuyến và độ dốc là điều cần thiết để tìm ra độ dốc của đường tiếp tuyến. Độ dốc được định nghĩa là tỷ lệ giữa hiệu số tọa độ y và hiệu số tọa độ x. Nó được biểu diễn bằng công thức sau:
m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
Cần lưu ý rằng:
- Tan θ giống với m. Độ dốc có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào việc đường thẳng di chuyển lên hay xuống.
- Tích của độ dốc của hai đường thẳng vuông góc là -1 và độ dốc của các đường thẳng song song là bằng nhau.
- Đạo hàm của một hàm số cho biết tốc độ thay đổi so với sự thay đổi của biến độc lập.
Độ dốc của đường tiếp tuyến cũng giống như đạo hàm của đường cong tại một điểm nào đó. Công thức cho đường tiếp tuyến có độ dốc là m và điểm đã cho là (x₁, y₁) được cho bởi:
y – y₁ = m × (x – x₁) hoặc y = mx + c
Trong đó c là một hằng số.
Để tìm độ dốc của đường tiếp tuyến, ta cần tìm đạo hàm của đường cong f(x) và tìm giá trị của đạo hàm tại điểm mà đường tiếp tuyến và đường cong gặp nhau. Điều này cho ta biết độ dốc.
Ví dụ: Tìm độ dốc của đường tiếp tuyến với đường cong f(x) = x² tại điểm (1, 1). Đồng thời, tìm phương trình của đường tiếp tuyến.
Để tìm độ dốc của đường tiếp tuyến, chúng ta cần tìm f'(x):
f(x) = x²
f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x
Tại x = 1, độ dốc sẽ là:
f'(1) = 2(1) = 2
Vậy, độ dốc của đường tiếp tuyến là 2.
Bây giờ, để tìm phương trình của đường tiếp tuyến: Chúng ta sẽ sử dụng dạng điểm-độ dốc: y – y₁ = m(x – x₁)
Chúng ta có điểm (1, 1) và độ dốc = 2
y – 1 = 2(x – 1)
Chuyển đổi sang dạng độ dốc-giao điểm:
y – 1 = 2x – 2
y = 2x – 1
- Độ dốc của đường tiếp tuyến là 2.
- Phương trình của đường tiếp tuyến là y = 2x – 1.
Ví dụ khác: Tìm độ dốc của đường tiếp tuyến 6y = 3x + 5.
Vì chúng ta biết phương trình của một đường tiếp tuyến có dạng y = mx + c trong đó m là độ dốc.
Ta có thể viết:
y = (3x + 5) / 6
Do đó, giá trị của độ dốc là 0.5.
